Bất đẳng thức này rõ ràng đúng với y = 0, vì thế ta có thể giả sử <x, y> khác 0. Giả sử λ {\displaystyle \lambda } là một số phức bất kỳ. Khi đó, chúng ta có bất đẳng thức chắc chắn đúng như sau:

0 ≤ ‖ x − λ y ‖ 2 = ⟨ x − λ y , x − λ y ⟩ = ⟨ x , x ⟩ − λ ⟨ x , y ⟩ − λ ¯ ⟨ y , x ⟩ + | λ | 2 ⟨ y , y ⟩ . {\displaystyle 0\leq \left\|x-\lambda y\right\|^{2}=\langle x-\lambda y,x-\lambda y\rangle =\langle x,x\rangle -\lambda \langle x,y\rangle -{\bar {\lambda }}\langle y,x\rangle +|\lambda |^{2}\langle y,y\rangle .}

Chọn

λ = ⟨ y , x ⟩ ⋅ ⟨ y , y ⟩ − 1 {\displaystyle \lambda =\langle y,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle ^{-1}}

chúng ta được

0 ≤ ⟨ x , x ⟩ − | ⟨ x , y ⟩ | 2 ⋅ ⟨ y , y ⟩ − 1 {\displaystyle 0\leq \langle x,x\rangle -|\langle x,y\rangle |^{2}\cdot \langle y,y\rangle ^{-1}}

mà bất đẳng thức trên đúng khi và chỉ khi

| ⟨ x , y ⟩ | 2 ≤ ⟨ x , x ⟩ ⋅ ⟨ y , y ⟩ {\displaystyle |\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle }

hay tương đương:

| ⟨ x , y ⟩ | ≤ ‖ x ‖ ‖ y ‖ . {\displaystyle {\big |}\langle x,y\rangle {\big |}\leq \left\|x\right\|\left\|y\right\|.} (điều phải chứng minh)